Question

Найти сумму ряда
$\frac{1}{4} +\frac{5}{16} +\frac{9}{64} +...$

Answer 1

Обозначим нашу сумму через S, тогда домножим сумму на 4

$4S=1+\dfrac{5}{4}+\dfrac{9}{16}+\dfrac{13}{64}+...$

Вычтем почленно 4S и S

$4S-S=1-\dfrac{1}{4}+\dfrac{5}{4}-\dfrac{5}{16}+\dfrac{9}{16}-\dfrac{9}{64}+\dfrac{13}{64}-...\\ \\ 3S=1+1+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{64}+...=2+\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{16}+\dfrac{1}{64}+...\right)$

В последнем выражении справа в скобке это бесконечно убывающая геометрическая прогрессия

$3S=2+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{1-\dfrac{1}{4}}=2+\dfrac{1}{4-1}=\dfrac{7}{3}\\ \\ \boxed{S=\dfrac{7}{9}}$

Ответ: 7/9