Question

На стороне AB трапеции АВСD (BC||AD) взята точка К так, что АК:КВ=2:3. Точка О - пересечение отрезков КС и BD, точка М - пресечение двух прямых: одна из них проходит через точки А и D, другая - через К и С. Известно, что AD:BC=2:1. Найдите отношение площадей треугольников ОВС и ОСD.

Answer 1

Треугольники OBC и OCD имеют одинаковую высоту (основания BO и OD лежат на одной прямой и оба имеют общую вершину C), значит, их площади относятся как длины оснований: $\dfrac{S_{OBC}}{S_{OCD}}=\dfrac{0{,}5\cdot BO\cdot h}{0{,}5\cdot OD\cdot h}=\dfrac{BO}{OD}$

По теореме Менелая для треугольника ABD:

$\dfrac{AK}{KB}\cdot\dfrac{BO}{OD}\cdot\dfrac{DM}{MA}=1\Rightarrow\dfrac{BO}{OD}=\dfrac{KB}{AK}\cdot\dfrac{MA}{DM}$

Треугольники AMK и BCK подобны по двум углам (∠AKM и ∠BKC вертикальные, ∠AMK и ∠KCB накрест лежащие):

$\dfrac{AM}{BC}=\dfrac{AK}{KB}=\dfrac{2}{3}\Rightarrow AM=\dfrac{2}{3}BC=\dfrac{2}{3}\cdot\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{3}AD$

$\dfrac{BO}{OD}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{\frac{1}{3}AD}{\frac{1}{3}AD+AD}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{8}$

Ответ: 3:8