Question

Искусственный спутник движется по предельно низкой орбите с периодом 1,5 часа вокруг планеты радиусом вдвое больше земного. Какова масса планеты (в единицах массы Земли)? Выберите один ответ:

a. В 8 раз.
b. В 2 раза.
c. В 4 раза.

Answer 1

Ответ:

в 8 раз больше массы Земли

Объяснение:

Считаем, что траектория движения круговая.

Записываем силу, действующую на спутник, двумя способами - по формуле для силы гравитационного притяжения и через центростремительное ускорение (масса спутника обозначена за m и потом сократится):

$F=\dfrac{GmM}{R^2}=m\dfrac{v^2}{R}=m\dfrac{(2\pi R/T)^2}R$

Упрощаем:

$\dfrac{G}{4\pi^2}=\dfrac{R^3}{MT^2}$

Левая часть ни от чего не зависит, в неё входят только константы, так что и правая часть должна ни от чего не зависеть.

Для Земли период будет равен

$T=\dfrac{2\pi R}{v}=\dfrac{2\pi R}{\sqrt{gR}}=2\pi\sqrt{\dfrac Rg}=6.28\cdot\sqrt{\dfrac{6.4\cdot10^6}{9.8}}=5080\text{ c},$

то есть примерно 1.41 часа.

Период обращения спутника в 1,06 раз больше земного, радиус в 2 раза больше земного, чтобы отношение осталось постоянным, масса должна быть в

$\dfrac{2^3}{1.06^2}\approx7.1$

раз больше земной.

Самый похожий ответ в списке - a. Его можно получить, если считать, что предельно низкая орбита - не круговая орбита с радиусом планеты, а с несколько большим (для земли, например, полету будет мешать сопротивление атмосферы, поэтому имеет смысл подняться чуть выше). Для высоты над поверхностью примерно 300 км период обращения будет около полутора часов, тогда ответ будет ровно 8.