Question

\lim_{x \to \infty}(\frac{3x}{3x+2})^{x-2}

Answer 1

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\frac{3x}{3x+2}\right)^{x-2}$

Здесь неопределённость $\{1^{\infty}\}$ поэтому будем пользоваться вторым замечательным пределом

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}\left(\frac{3x}{3x+2}\right)^{x-2}=\lim_{x \to \infty}\left(1-\dfrac{2}{3x+2}\right)^{(x-2)\cdot \left(-\frac{3x+2}{2}\right)\cdot \left(-\frac{2}{3x+2}\right)}=\\ \\ \\ =e^{\displaystyle \lim_{x \to \infty}-\frac{2(x-2)}{3x+2}}=e^{-2/3}$