Question

Вычислите определители, предварительно упростив их:

$a) \ \left[\begin{array}{ccc}x^{2}+a^{2}&ax&1\\y^{2}+a^{2}&ay&1\\z^{2}+a^{2}&az&1\end{array}\right] \ \ \ \ b) \ \left[\begin{array}{ccccc}7&8&5&5&3\\10&11&6&7&5\\5&3&6&2&5\\6&7&5&4&2\\7&10&7&5&0\end{array}\right]$

Answer 1

От второй строки отнимем первую строку и от третьей строки отнимем первую строку. Получим

$\left|\begin{array}{ccc}x^2+a^2&ax&1\\ y^2+a^2&ay&1\\ z^2+a^2&az&1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}x^2+a^2&ax&1\\ y^2-x^2&ay-ax&0\\ z^2-x^2&az-ax&0\end{array}\right|=\\ \\ \\ =1\cdot (-1)^{1+3}\left|\begin{array}{ccc}y^2-x^2& ay-ax\\ z^2-x^2&az-ax\end{array}\right|=(y^2-x^2)(az-ax)-\\ \\ \\ -(z^2-x^2)(ay-ax)=(y-x)(y+x)a(z-x)-(z-x)(z+x)\cdot \\ \\ \\ \cdot a(y-x)=a(y-x)(z-x)(y+x-z-x)=a(y-x)(z-x)(y-z)$

Во втором примере от четвертой строки отнимем первую строку и от второй строки отнимем третью строку и от третьей строки отнимем четвертую строку.

$\begin{vmatrix}7&8&5&5&3\\10&11&6&7&5\\5&3&6&2&5\\6&7&5&4&2\\7&10&7&5&0\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&1&0&1&1\\5&8&0&5&0\\-1&-4&1&-2&3\\6&7&5&4&2\\7&10&7&5&0\end{vmatrix}=$

Далее сложим четвертую строку и третью строку,умноженную на (-5) и сложим пятую строку и третью строку, умноженную на (-7), получим

$=\begin{vmatrix}1&1&0&1&1\\5&8&0&5&0\\-1&-4&1&-2&3\\11&27&0&14&-13\\14&38&0&19&-21\end{vmatrix}=1\cdot (-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1&1&1&1\\5&8&5&0\\11&27&14&-13\\14&38&19&-21\end{vmatrix}=$

Сложим первую строку, умноженную на (-5) со второй, первую строку, умноженную на (-11) с третьей строкой и первую строку умноженную на (-14) с четвертой строкой.

$=\begin{vmatrix}1&1&1&1\\0&3&0&-5\\0&16&3&-24\\0&24&5&-35\end{vmatrix}=1\cdot (-1)^{1+1}\begin{vmatrix}3&0&-5\\16&3&-24\\24&5&-35\end{vmatrix}=\\ \\ \\ =3\cdot (-1)^{2+2}\begin{vmatrix}3&-5\\24&-35\end{vmatrix}+5\cdot (-1)^{3+2}\begin{vmatrix}3&-5\\16&-24\end{vmatrix}=3(-105+120)-5\cdot \\ \\ \\ \cdot (-72+80)=45-40=5$

Answer 2

Ответ и все расчеты во вложении