Question

a)Докажите, что существует палиндром, кратный 2^3. b) Докажите, что существует палиндром, кратный 6^10

Answer 1

а) $2^3=8$ - а это уже палиндром

б) Сначала построим палиндром, кратный $2^{10}$

Пусть A - число из цифр $2^{10}$, записанных в обратном порядке (очевидно, что $2^{10}$ не оканчивается на 0 (иначе $2^{10}$ кратно 5), а значит A существует). Пусть также число цифр A равно n.

Тогда искомое число можно получить записав подряд число A, 10 нулей и $2^{10}$. И правда, это число равно $B=A*10^n*10^{10}+2^{10}=A*10^n*5^{10}*2^{10}+2^{10}=2^{10}*(A*10^n*5^{10}+1)$ - кратно $2^{10}$

Записав 3 раза подряд число B, получим палиндром, кратный 3. И правда: $B^{(1)}=\overline{BBB}=B*10...010...01$. Сумма цифр $10...010...01$ равна 3, а значит число кратно 3, а значит $B^{(1)}$ кратно $3*B$. Повторив эту операцию уже с числом $B^{(1)}$, получим $B^{(2)}$, кратное уже $3^2*B$. Наконец на 10ом шаге получим палиндром $B^{(10)}$, кратный $3^{10}*B$.

Т.к. B кратно $2^{10}$, то $B^{(10)}$ кратно $3^{10}*2^{10}$=$6^{10}$

А значит палиндром, удовлетворяющий условию, существует.

Ч.т.д.