Question

Помогите сделать, даю дофига баллов

Answer 1

$1)(x^2-4)(\sqrt{6-5x}-x)=0$

одз:

$6-5x\geq 0\\5x \leq 6\\x \leq \frac{6}{5}\\ x\in (-\infty;\frac{6}{5}]$

произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

$x^2-4=0                 \\x^2=4    \\x_1=2 \notin (-\infty;\frac{6}{5}]\\x_2=-2 \in (-\infty;\frac{6}{5}]$                  

или

$\sqrt{6-5x}-x=0\\\sqrt{6-5x}=x\\\left \{ {{6-5x=x^2} \atop {x\geq 0}} \right. \\6-5x=x^2\\x^2+5x-6=0\\D=25+24=49=7^2\\x_1=\frac{-5+7}{2}=1>0\\x_2=\frac{-5-7}{2}=-6<0\\x_1 \in (-\infty;\frac{6}{5}]$

Ответ: 1; -2

2)

делаем замену:

$\sqrt[3]{3-x}=a\\\sqrt[3]{22+x}=b$

возводим a и b в третью степень:

$a^3=3-x\\b^3=22+x$

складываем:

$a^3+b^3=3-x+22+x=25$

составляем систему:

$\left \{ {{a-b=-1} \atop {a^3+b^3=25}} \right.$

выражаем a из первого уравнения:

$a=b-1$

подставляем и решаем:

$(b-1)^3+b^3=25\\b^3-3b^2+3b-1+b^3=25\\2b^3-3b^2+3b-26=0$

для удобства сделаем замену b=x(этот x к исходному уравнению никаого отношения не имеет):

$2x^3-3x^2+3x-26=0$

Данное уравнение не имеет целых корней. Используем формулы Кардано.

любое кубическое уравнение общего вида

$ax^3+bx^2+cx+d=0$

при помощи замены

$x=y-\frac{b}{3a}$

может быть приведено к канонической форме

$y^3+py+q=0$

где

$p=\frac{3ac-b^2}{3a^2}\\q=\frac{2b^3-9abc+27a^2d}{27a^3}$

теперь применим это для данного уравнения:

$2x^3-3x^2+3x-26=0\\a=2; b=-3; c=3; d=-26\\x=y-\frac{-3}{3*2}=y+\frac{1}{2}\\p=\frac{3*2*3-3^2}{3*2^2}=\frac{3}{4}\\q=\frac{2*(-3)^3+9*2*3*3+27*2^2*(-26)}{27*8}=-\frac{25}{2}\\y^3+\frac{3}{4}y-\frac{25}{2}=0$

определим величину Q:

$Q=(\frac{p}{3})^3+(\frac{q}{2})^2=(\frac{\frac{3}{4}}{3})^3+(\frac{-\frac{25}{2}}{2})^2=(\frac{1}{4})^3+(-\frac{25}{4})^2=\frac{1}{64}+\frac{625}{16}=\frac{2501}{64}$

Q>0 => уравнение имеет один действительный и два комплексно-сопряженных корня.

Ищем только действительный корень(подразумевается, что уравнение решается на множестве R - школьный уровень)

$y=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{Q}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{Q}}=\sqrt[3]{\frac{25}{4}+\sqrt{\frac{2501}{64}}}+\sqrt[3]{\frac{25}{4}-\sqrt{\frac{2501}{64}}}$

теперь выполняем обратные замены:

$x=\sqrt[3]{\frac{25}{4}+\sqrt{\frac{2501}{64}}}+\sqrt[3]{\frac{25}{4}-\sqrt{\frac{2501}{64}}}+\frac{1}{2}\\b=\sqrt[3]{\frac{25}{4}+\sqrt{\frac{2501}{64}}}+\sqrt[3]{\frac{25}{4}-\sqrt{\frac{2501}{64}}}+\frac{1}{2}$

теперь находим корень исходного уравнения:

$b^3=22+x\\x=b^3-22\\x=(\sqrt[3]{\frac{25}{4}+\sqrt{\frac{2501}{64}}}+\sqrt[3]{\frac{25}{4}-\sqrt{\frac{2501}{64}}}+\frac{1}{2})^3-22$

Ответ: $(\sqrt[3]{\frac{25}{4}+\sqrt{\frac{2501}{64}}}+\sqrt[3]{\frac{25}{4}-\sqrt{\frac{2501}{64}}}+\frac{1}{2})^3-22$

или, если нужно приблизительное значение:

$x\approx -2$