Question

помогите найти производную​

Answer 1

Это сложная функция.  

Производная сложной функции:

$\boxed{(f(g(x))'=f'(g(x))\cdot g'(x)}$

Внимательно смотрим на первую формулу. При взятии производной от сложной функции сначала производная берется по "внешней" функции, то есть той, которая вычисляется последней. И вот все то добро, которое у неё в аргументе, никуда не девается.

Формулу можно так записать, чтоб понятнее было:

$\boxed{(f(g(x))' = f'(t)\cdot t'(x)}$

Можно записать ещё дальше вложенность функций:

$\boxed{(f(g(h(u(x)))))' = f'(g(h(u(x))))\cdot g'(h(u(x)))\cdot h'(u(x))\cdot u'(x)}$

И так можно для любого уровня вложенности. Принцип понятен.

Вспомним пару правил нахождения производных

$\boxed{(f(x)\pm g(x))' = f'(x) \pm g'(x)};\boxed{(f(x)\cdot g(x))' = f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)}$

$\boxed{\bigg(\frac{f(x)}{g(x)} \bigg)'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{g^2(x)} }$

Запишем нашу функцию через натуральный логарифм

Имеем вообще такой вид (пока без степени):

$(log_{f(x)}g(x))'=\bigg(\frac{ln(g(x))}{ln(f(x))} \bigg)'=\frac{(ln(g(x)))'\cdot ln(f(x))-ln(g(x))\cdot (ln(f(x)))'}{ln^2(f(x))}$

Преобразуем чуть-чуть

$\boxed{(log_{f(x)}g(x))'= \frac{\frac{g'(x)}{g(x)}  \cdot ln(f(x))- \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot ln(g(x))}{ln^2(f(x))}}$

где $f(x)=sin(x)$, а $g(x)=cos(x)$.

Представим нашу функцию в несколько общем виде и найдем производную

$y'=(f(x)^{g(x)})'=(e^{ln(f(x))^{g(x)}})'=(e^{g(x)\cdot ln(f(x))})'=\\= e^{g(x)\cdot ln(f(x))}\cdot (g'(x)\cdot ln(f(x))+g(x)\cdot \frac{f'(x)}{f(x)} )$

$\boxed{y'=f(x)^{g(x)}\cdot \bigg(g'(x)\cdot ln(f(x))+g(x)\cdot \frac{f'(x)}{f(x)} \bigg) }$

где $f(x)=log_{sin(x)}cos(x); g(x)=tg(x);$

Производная f(x) найдена, а для g(x):

$(g(x))'=(tg(x))'=\frac{1}{cos^2x}$

Вычисляем производную:

$y'=(log_{sin(x)}cos(x))^{tg(x)}\cdot \bigg(\frac{ln(log_{sin(x)}cos(x))}{cos^2x}+$

$+\frac{tg(x)}{log_{sin(x)}cos(x)}\cdot \frac{\frac{-sin(x)}{cos(x)}\cdot ln(sin(x))-\frac{cos(x)}{sin(x)}\cdot ln(cos(x))  }{ln^2(sin(x))} \bigg)$

Здесь разве что можно дроби на тангенс и котангенс заменить и все.

$y'=(log_{sin(x)}cos(x))^{tg(x)}\cdot \bigg(\frac{ln(log_{sin(x)}cos(x))}{cos^2x}+$

$+\frac{tg(x)}{log_{sin(x)}cos(x)}\cdot \frac{-tg(x) \cdot ln(sin(x))- ctg(x) \cdot ln(cos(x))  }{ln^2(sin(x))} \bigg)$