Question

Помогите пожалуйста исследовать функции f(x)=x3−1

1. Найти области определения и значений данной функции f.

2. Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: а) четной или нечетной; б) периодической.

3. Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.

4. Найти промежутки знакопостоянства функции f.

5. Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает.

6. Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.

7. Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения (например, точка x=0 для функции f(x)=1/x и при больших (по модулю) значениях аргумента.

Answer 1

Ответ:Дана функция: f(x)=x³−1.

1.Область определения и значений данной функции f: ограничений нет - x ∈ R.

2.Выяснить, обладает ли функция особенностями, облегчающими исследование, т. е. является ли функция f: 

а) четной или нечетной: f(-x) = -x³−1 ≠ f(x).

                                         f(-x) = -(x³+1) ≠ -f(x).

Значит, функция не чётная и не нечётная.

б) периодической: функция не периодическая.

3.Вычислить координаты точек пересечения графика с осями координат.

С осью Оу при х =0: у = 0³ - 1 = -1.

С осью Ох при у = 0: 0 = х³ - 1,  х³ = 1,  х = ∛1 = 1.

4.Найти промежутки знакопостоянства функции f.

Находим производную: y' = 3x².

Так как производная положительна на всей области определения, то функция только возрастающая.

5.Выяснить, на каких промежутках функция f возрастает, а на каких убывает: в соответствии с пунктом 4 функция возрастает от -∞ до +∞.

6.Найти точки экстремума, вид экстремума (максимум или минимум) и вычислить значения f в этих точках.

Приравниваем производную нулю; 3х² = 0, х = 0.

Имеем 2 промежутка монотонности функции

На промежутках находят знаки производной. Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

Производная y' = 3x² только положительна.

Так как производная не имеет промежутков смены знака, значит, функция не имеет ни минимума, ни максимума.

7.Исследовать поведение функции f в окрестности характерных точек, не входящих в область определения и при больших (по модулю) значениях аргумента: таких точек нет

Пошаговое объяснение:вроде как-то так