Question

Докажите, что число $\sqrt[3]{35+\sqrt{1009} } +\sqrt[3]{35-\sqrt{1009} }$ является корнем уравнения x^3-18x=70

Answer 1

$\sqrt[3]{35+\sqrt{1009} }+\sqrt[3]{35-\sqrt{1009} }=\sqrt[3]{( \sqrt[3]{35+\sqrt{1009} }+\sqrt[3]{35-\sqrt{1009} })^3}=\\ \sqrt[3]{35+35+3*\sqrt[3]{35+\sqrt{1009} }*\sqrt[3]{35-\sqrt{1009} } *( \sqrt[3]{35+\sqrt{1009} }+\sqrt[3]{35-\sqrt{1009} })}\\ =\sqrt[3]{70+3*\sqrt[3]{1225-1009}*( \sqrt[3]{35+\sqrt{1009} }+\sqrt[3]{35-\sqrt{1009} })}=\\ \sqrt[3]{70+3*6*( \sqrt[3]{35+\sqrt{1009} }+\sqrt[3]{35-\sqrt{1009} })}\\ x= \sqrt[3]{35+\sqrt{1009} }+\sqrt[3]{35-\sqrt{1009} }=>$

$=>x=\sqrt[3]{70+3*6*x}=>x^3=70+18x=>x^3-18x=70$

Ч.т.д.