Question

Докажите, что при всех значениях переменных верно неравенство:
а) m(m − n) > n(m − n)
б) a(a + b) > b(a − b)
в) a^2 + 5 > 4a
г) y^2 + 10 > −6y

Answer 1

а) рассмотрим разность левой и правой частей

 m(m − n)-n(m − n)=m²-m*n-m*n+n²=(m − n)²≥0, если m и  n различны, то разность положительна, значит, правая часть больше левой, а если m=n, то левая и правая части равны.

б) a(a + b)-b(a − b)=а²+ав-ав+в²=а²+в²≥0,  сумма неотрицательных, и поэтому левая часть больше или равна правой.

в) а² + 5- 4a=(а-2)²+1>0 как сумма неотрицательного квадрата разности и положительной единицы, поэтому левая часть больше правой.

г)  y²+ 10 + 6y=(у-3)²+1 как и в) положительна, как сумма положительной единицы и неотрицательного квадрата разности двух выражений. Поэтому левая часть больше правой.