Question

ДОКАЖИТЕ ЧТО ПРИ ЛЮБОМ НАТУРАЛЬНОМ N ВЫРАЖЕНИЕ 7^N-6*2^N ДЕЛИТСЯ НА 5

Answer 1

Докажем методом математической индукции.

1) База индукции: $n=1$

$7^1-6\cdot 2^1=-5$ делится на 5.

2) Предположим, что и при $n=k$ выражение $\left(7^k-6\cdot 2^k\right)~\vdots~5$

3) Индукционный переход: $n=k+1$

$7^{k+1}-6\cdot 2^{k+1}=7\cdot 7^k-12\cdot 2^k=7\cdot 7^k-42\cdot 2^k+30\cdot 2^k=\\ \\ =7\cdot\left(\underbrace{7^k-6\cdot 2^k}_{div~5}\right)+30\cdot 2^k$

Первое слагаемое делится на 5 по предположению (пункт 2), а второе слагаемое тоже делится на 5, так как имеет сомножитель 30. Следовательно, $\left(7^n-6\cdot 2^n\right)~\vdots~5$ для всех натуральных $n.$