Question

Для всех $\alpha\ _\mathcal U\ \beta \ \in \ R$ исследовать СЛАУ на совместность по теореме Кронекера-Капелли (использовать метод Гаусса)

Answer 1

$\left(\begin{array}{ccc}2&3&4\\ 3&4&-1\\4&5&-\alpha\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}5\\-7\\\beta\end{array}\right)^{II-I}\sim\left(\begin{array}{ccc}2&3&4\\ 1&1&-5\\ 4&5&-\alpha\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}5\\-12\\\beta\end{array}\right)^{I\leftrightarrow II}\sim$

$\sim\left(\begin{array}{ccc}1&1&-5\\ 2&3&4\\ 4&5&-\alpha\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}-12\\5\\\beta\end{array}\right)^{II-2I}_{III-4I}\sim\left(\begin{array}{ccc}1&1&-5\\0&1&14\\ 0&1&20-\alpha\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}-12\\29\\48+\beta\end{array}\right)^{III-II}\sim\\ \\ \\ \sim\left(\begin{array}{ccc}1&1&-5\\ 0&1&14\\ 0&0&6-\alpha\end{array}\right|\left\begin{array}{ccc}-12\\29\\19+\beta\end{array}\right)$

По теореме Кронекера-Капелли, система будем совместной тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

При $\alpha =6,~\beta\ne -19$ система не совместна. При $\alpha=6,~ \beta=-19$ система совместна, при этом $r(A)=r(\overline{A})<3$ - ранг меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечно множество решений. При $\alpha \ne6,~ \beta\ne -19$ система совместна, при этом $r(A)=r(\overline{A})=3$ - система имеет единственное решение. При $\alpha \ne 6$ и $\beta =-19$ система совместна, причём система имеет единственное решение, ранг равен числу неизвестных $r(A)=r(\overline{A})=3$