Question

Решить систему уравнений X^2+xy+y^2=13 X^4+x^2y^2+y^4=91

Answer 1

Первое уравнение запишем в виде x^2-y^2=13-xy и возведем его в квадрат:

x^4+y^4+2*x^2*y^2=169+x^2*y^2-26xy

x^4+y^4+x^2*y^2+26xy=169  вычтем отсюда второе ур-ние системы, получим:

26xy=78

xy=3, вернемся к системе:

x^2+3+y^2=13          x^2+y^2=10

x^4+9+y^4=91          x^4+y^4=82

Из первого ур-ния выразим x^2=10-y^2 и подставим во второе:

(10-y^2)^2+y^4=82

100+y^4-20y^2+y^4=82

2y^4-20y^2+18=0

y^4-10y^2+9=0  сделаем замену y^2=t

t^2-10t+9-0

по теореме Виетта: t=9, t=1, отсюда

y^2=9, y=+-3

y^2=1, y=+-1

подставим в ур-ние x^2=10-y^2, получим

x^2=10-9=1, x=+-1

x^2=10-1=9, x=+-3

Ответ: х=+-1, y=+-3 или х=+-3, y=+-1