Question

Решите уравнение :
f'(x)=0, где f(x) = $cosx - \sqrt{3}*sinx-x+\frac{1}{2}sin(2x+\frac{2\pi }{3})$

Answer 1

$f'(x)=-\sin x-\sqrt{3}\cos x-1+\dfrac{1}{2}\cdot 2\cos (2x+\frac{2\pi}{3})=\\ \\ =-\sin x-\sqrt{3}\cos x-1+\cos (2x+\frac{2\pi}{3})=0$

В дальнейшем будем применять формулу содержащего дополнительного угла

$a\sin (kx)\pm b\cos (kx)=\sqrt{a^2+b^2}\sin (kx\pm\arcsin \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}})$

$-(\sin x+\sqrt{3}\cos x)+\cos (2x+\frac{2\pi}{3})-1=0\\ \\ -\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}\sin (x+\arcsin\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}})+\cos (2(x+\frac{\pi}{3}))-1=0\\ \\ -2\sin (x+\frac{\pi}{3})+1-2\sin^2(x+\frac{\pi}{3})-1=0\\ \\ -2\sin(x+\frac{\pi}{3})(\sin (x+\frac{\pi}{3})+1)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей равен нулю

$\sin (x+\frac{\pi}{3})=0~~\Rightarrow~~ x+\frac{\pi}{3}=\pi k,k \in \mathbb{Z}~~\Rightarrow~~ \boxed{x_1=-\frac{\pi}{3}+\pi k,k \in \mathbb{Z}}\\ \\ \sin (x+\frac{\pi}{3})+1=0\Rightarrow x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{2}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}\Rightarrow\boxed{x_2=-\frac{5\pi}{6}+2\pi k,k \in \mathbb{Z}}$