Question

решить систему уравнений​

Answer 1

$3a-c+d = 0\\3b-3c+d=0\\2a-4b+d=0$

Составим матрицу из коэффициентов:

$\left[\begin{array}{cccc}3&0&-1&1\\0&3&-3&1\\2&-4&0&1\end{array}\right]$

Найдем базисный минор:

$M_1 = 3\\M_2 = 3^2 - 0^2 = 9\\M_3_1 = 3*3*0 + 0*(-3)*2 + 0*(-4)(-1) - (2*3*(-1) + 0*0*0 + 3*(-3)(-4)) = 30\\M_3_2 = 0$

Последний нулевой, а значит искомый, так как числа столбцов одинаковы.

Значит, с - произвольное число, заменим его на c₁, причем ∀c₁ ∈ R

Система примет вид:

3a + d = c₁

3b + d = 3c₁

2a-4b+d = 0

Из второго уравнения отнимем первое, получим:

3b + d - 3a - d = 3c₁ - c₁

3b - 3a = 2c₁

b - a = $\frac{2}{3}$c₁

b = $\frac{2}{3}$c₁ + a

Теперь из второго уравнения отнимем третье:

3b + d - 2a + 4b - d = 3c₁

-2a + 7b = 3c₁

-2a + 7($\frac{2}{3}$c₁ + a) = 3c₁

-2a + $\frac{14}{3}$c₁ + 7a = 3c₁

5a = -$\frac{5}{3}$c₁

a = -$\frac{1}{3}$c₁

b = $\frac{2}{3}$c₁ + a = $\frac{2}{3}$c₁ - $\frac{1}{3}$c₁ = $\frac{1}{3}$c₁

Из первого уравнения выразим d:

d = c₁ - 3a = c₁ - (-$\frac{1}{3}$c₁) = c₁ + c₁ = 2c₁

Ответ: (-$\frac{1}{3}$c₁;$\frac{1}{3}$c₁;c₁;2c₁) ∀c₁∈ R