Question

Наудачу взяты два положительные числа x и y,
каждое из которых не превышает двух. Найти вероятность
того, что произведение xy будет не больше двух, причем
y ≤ 2x2 .

Answer 1

Построив $0<x\leq2,~~ 0<y\leq 2,~y\leq 2x^2,~~ xy\leq 2$, мы получим область и нужно найти ее площадь. Проведем x = 1 и разобьем на два интеграла.

$\displaystyle I_1\int\limits_0^2 dy\int\limits^1_{\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}}dx=\int\limits^2_0x\big|^1_{\sqrt{\frac{y}{2}}}dy=\int\limits_0^2\left(1-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{2}}\right)dy=\left(y-\frac{\sqrt{2}y^{3/2}}{3}\right)\bigg|^2_0=\\ \\ \\ =2-\dfrac{\sqrt{2}\cdot2^{3/2}}{3}=2-\dfrac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2^3}}{3}=2-\dfrac{4}{3}=\dfrac{2}{3}$

$\displaystyle I_2=\int\limits^2_1dx\int\limits^{\frac{2}{x}}_0dy=\int\limits^2_1y\big|^{\frac{2}{x}}_0dx=\int\limits^2_1\frac{2}{x}dx=2\ln|x|\bigg|^2_1=2\ln 2$

Площадь закрашенной фигуры: $S=I_1+I_2=\dfrac{2}{3}+2\ln2$

По формуле геометрической вероятности:

$P=\dfrac{I_1+I_2}{S_{\boxed{}}}=\dfrac{2/3+2\ln 2}{2^2}=\dfrac{3\ln 2+1}{6}$