Question

Для матрицы А найти все перестановочные (коммутирующие) с ней квадратные матрицы В. Проверить выполнимость АВ = ВА, если:
$A = \left[\begin{array}{ccc}2&1\\-1&3\end{array}\right]$

Answer 1

Пусть матрица В имеет коэффициенты $\left[\begin{array}{ccc}a&b\\ c&d\end{array}\right]$, тогда

$A\cdot B=\left[\begin{array}{ccc}2&1\\ -1&3\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}a&b\\ c&d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2a+c&2b+d\\ -a+3c&-b+3d\end{array}\right] \\ \\ B\cdot A=\left[\begin{array}{ccc}a&b\\ c&d\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}2&1\\ -1&3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}2a-b&a+3b\\ 2c-d&c+3d\end{array}\right]$

Приравнивая коэффициенты, мы получим систему уравнений

$\begin{cases}&\text{}2a+c=2a-b\\&\text{}2b+d=a+3b\\&\text{}-a+3c=2c-d\\&\text{}-b+3d=c+3d\end{cases}~~\Rightarrow~~~\begin{cases}&\text{}a=c+d\\&\text{}b=-c\\&\text{}c\in \mathbb{R}\\&\text{}d\in \mathbb{R}\end{cases}$

$B=\left[\begin{array}{ccc}c+d&-c\\ c&d\end{array}\right]$ - ответ.