Question

найдите наименьшее натуральное число n, для которого n2+20n+19 делится на 2019.

Answer 1

2019 = 3 * 673

$n^2+20n+19=(n+19)(n+1)$.

1) Значит либо (n+19), либо (n+1) делится на 3.

Заметим, что $n+19-(n+1)=18=6*3$, а значит (n+19) и (n+1) дает один остаток при делении на 3.

Значит и (n+19), и (n+1) делятся на 3.

2) Значит

• либо (n+19) делится на 673 => (n+19) кратно 2019, т.е. n+19=2019k => n=2019k-19. Наименьшее решение 2019-19=2000

• либо (n+1) делится на 3 => (n+1) кратно 2019, т.е. n+1=2019m => n=2019m-1. Наименьшее решение 2019-1=2018

А значит наименьшее n=2000