Question

Доказать, что (a+2b)(1/2a + 1/b) больше или равно 4
Если a>0 и b>0

Answer 1

По неравенству Коши

$a+2b\geqslant 2\sqrt{a}\cdot \sqrt{2b}=2\sqrt{2ab}\\ \\ \dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{b}\geqslant2\sqrt{\dfrac{1}{2a}}\cdot \sqrt{\dfrac{1}{b}}=2\sqrt{\dfrac{1}{2ab}}$

Умножив эти два неравенства, получим

$(a+2b)\left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{b}\right)\geqslant 2\sqrt{2ab}\cdot \dfrac{2}{\sqrt{2ab}}=4$

Доказано.