Question

вычислить объем тела V ограниченного поверхностями
$\begin{cases}2z = {x}^{2} + {y}^{2} \\ y + z = 4 \end{cases}$
Плотность тела V считать равной 1.
(задание нужно выполнить с помощью двойного интеграла)​

Answer 1

$z=\dfrac{x^2+y^2}{2}$ - эллиптический параболоид. В сечении $z=z_0$, параллельном плоскости xОy, получаем окружность с радиусом $\sqrt{2z_0}$ и центром в начале координат.

$z=4-y$ - плоскость, параллельная оси Ox. В сечении $z=z_0$, параллельном xOy получаем прямую $y=4-z_0$.

Найдем, где графики пересекаются, приравняв их уравнения: $\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{2}=4-y\\ x^2+y^2=8-2y\\ x^2+(y+1)^2=3^2$

В проекции на xOy получаем окружность радиуса 3 $x^2+(y+1)^2=3^2$. Пределы по x будут $\pm \sqrt{9-(y+1)^2}$, по y будут 3-1=2 и -3-1=-4.

Вычисление интеграла в приложении.