Question

В параллелограмме ABCD точки P и Q расположены на сторонах BC и AD так, что BP = BQ. Докажите, что четырехугольник APCQ – параллелограмм.

Answer 1

ABCD - параллелограмм, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, т.е. $AO=OC,~BO=OD$. По условию, BP = BQ, т.е., точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка, значит BO - высота, медиана и биссектриса равнобедренного треугольника $PBQ$, тогда $QO=OP$. А так как в четырехугольнике диагонали, пересекаясь, точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник $APCQ$ — параллелограмм.