Question

При каких значениях a сумма корней уравнения x^2-2a(x-1)-1=0 равна сумме квадратов его корней?

Answer 1

$x^2-2a(x-1)-1=0\\ x^2-2ax+2a-1=0$

По теореме Виета

$x_1+x_2=2a\\ x_1x_2=2a-1$

Тогда сумма квадратов его корней равна

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4a^2-4a+2$

Приравнивая сумму корней уравнения с суммой квадратов его корней, имеет уравнение

$4a^2-4a+2=2a\\ 4a^2-6a+2=0~~|:2\\ 2a^2-3a+1=0\\ D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=1\\ \\ a_1=\dfrac{3-1}{2\cdot 2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}\\ \\ a_2=\dfrac{3+1}{2\cdot 2}=\dfrac{4}{4}=1$