Предмет: Геометрия, автор: Maximonio

Даю 98 баллов
Помогите решить задачу двумя способами (методом координат и простым)

Приложения:

Simba2017: одним то еще не решат)
Andr1806: Удаленное решение скопировано с http://examme.ru/task.php?id=792

Ответы

Автор ответа: Andr1806
1

Ответ:

Решения в объяснении и приложенных рисунках.

Объяснение:

1. Координатный метод.

Пирамида правильная. =>

MH = (√3/2)a = 3√3.  MO = (2/3)·3√3 =2√3. ∠FMQ = 30°

Привяжем систему координат к вершине М так, что ось Х проходит по высоте основания МН. Тогда имеем точки:

М(0;0;0), В(2√3;0;3), Н(3√3;0;0)), К(3√3;3;0).

FQ = MF/2 = (√21/2)/2 = √21/4, MQ =  MF·Sin60 = √21·√3)/4. Тогда точки

Q((√21·√3)/4;0;0), F((√21·√3)/4;√21/4;0).

По Пифагору MB = √(ВО²+МО²) = √(9+12) = √21.  Тогда

Sin(∠BMO) = BO/MB = 3/√21.  

Cos(∠BMO) = MO/MB = 2√3/√21.  =>

PP' = MP·Sin(∠BMO) = (7/4)·(3/√21) = √21/4.  (Zp)

MP' =  MP·Cos(∠BMO) = (7/4)·(2√3/√21) = √7/2. (Xp)Имеем координаты точки Р:

Р(√7/2;0;√21/4).

Теперь имеем координаты всех нужных для решения точек.

а) Найдем координаты векторов РF и BK.

PF{(√21·√3-2√7)/4; √21/4; - √21/2}  или PF{√7/4; √21/4; - √21/4}.

ВК{√3;3; -3}. Отношение соответствующих координат этих векторов:

Xbk/Xpf = √3/(√7/4) = 12/√21.

Ybk/Ypf = 3/(√21/4) = 12/√21.

Zbk/Zpf = -3/(-√21/4) = 12/√21.

Отношения равны, значит векторы ВК и PF параллельны.

Найдем координаты векторов РQ и BH.

PQ{(√21·√3-2√7)/4; 0; - √21/4}  или PQ{(√7/4; 0; - √21/4}.

ВH{√3;0; -3}. Отношение соответствующих координат этих векторов:

Xbh/Xpq = √3/(√/4) = 12/√21.

Ybh/Ypq = 0/0. (такое отношение приравнивается любому значению).

Zbh/Zpq = -3/(-√21/4) = 12/√21.

Отношения равны, значит векторы ВН и PQ параллельны.

Признак параллельности плоскостей: Плоскости FEP и NBK параллельны, если пересекающиеся прямые PF и РQ (лежащие в плоскости FEP) параллельны прямым ВК и ВН (лежащим в плоскости NBK) соответственно.

Следовательно, мы доказали, что плоскости FEP и NBK параллельны.

б) Уравнение плоскости NBK составим по точкам В(2√3;0;3), Н(3√3;0;0)) и К(3√3;3;0) по формуле:

|x - xН   xB - xН   xК - xН|

|y - yН   yB - yН   yК - yН| = 0.

|z -  zН   zB - zР  zК -  zН|

Подставим данные трех наших точек:

|x-3√3   -√3    0 |        

|y-0         0      3 | = 0.

|z-0          3      0 |        

Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:

             |0  3|       | -√3  0|        | -√3    0 |

(x-3√3)*|3  0| - y*|   3   0| + z*|   0      3 | =  0.  Или

(x-3√3)*(-9) - y*(0) +z*(-3√3) = 0. =>

9x +(0)y+3√3z -27√3= 0. Или

3x +(0)y+√3z -9√3 = 0.  Коэффициенты: А=3, В=0, С=√3, D= -9√3.

Проверка для точки В: 6√3+0+3√3-9√3 = 0.  Для точки Н: 9√3+0+0-9√3=0. Для точки К: 9√3-0+0-9√3=0. Итак, уравнение плоскости верное.

Найдем расстояние от точки Р(2√7/4;0;√21/4) до плоскости NBK по формуле:

d =(|A·Px+B·Py+C·Pz+D|)/(√(A²+B²+C²).  В нашем случае:

d = |6√7)/4+0+3·√7/4-9√3|/(√(9+0+3) = |(9√7 - 36√3)/4| /(2√3) =  =|3(√21-12)|/8 = 3(12-√21)/8.

2. Геометрическое решение.

а). У равнобедренного треугольника FME и  равностороннего треугольника КМM угол М общий. Следовательно, треугольники подобны с коэффициентом подобия k=MF/MK. k = √21/12.  =>

FE||KN.

Треугольник MNK правильный => MH = (√3/2)a = 3√3.  

MO = (2/3)·3√3 =2√3. В прямоугольном треугольнике МВО по Пифагору:

ВМ =  √(ВО²+МО²) = √(9+12) = √21. Тогда

МР/ВМ = (7/4)/√21 = √21/12. Следовательно, треугольники FMP и KMB подобны, по третьему признаку подобия (МР/ВМ = MF/MK = √21/12, а ∠М - общий).

Из подобия => PF||BK.

Плоскости FEP и NBK параллельны, если пересекающиеся прямые PF и FE (лежащие в плоскости FEP) параллельны прямым ВК и KN (лежащим в плоскости NBK) соответственно (признак).

Следовательно, мы доказали, что плоскости FEP и NBK параллельны.

б) Расстояние от точки Р до плоскости NBK - это перпендикуляр, опущенный из этой точки на плоскость. Построим этот перпендикуляр.

В треугольнике МВН опустим высоту МR на сторону ВН. RH - проекция наклонной МН на плоскость NBK (по теореме о трех перпендикулярах), следовательно прямая MR перпендикулярна плоскости NBK.  

Проведем через точку Р в треугольнике МВН прямую PS параллельно прямой MR.

Отрезок PS перпендикулярен плоскости NBK и является искомым расстоянием.

Треугольники  PBS и MBR подобны с коэффициентом k=PB/MB.

PB = MB - MP = √21 - 7/4.  k = (4√21-7)/(4√21). PS = MR*k.

Smbh = (1/2)*BO*MH = (1/2)*3*3√3 =9√3/2.  

По Пифагору BH = √(BK²-KH²) =  √(21-9) = √12.

Тогда MR = 2S/BH = 9√3/√12 = 9/2.

MS = (9/2)*(4√21-7)/(4√21) = 9(4√21-7)/8√21 = 3(4√21-7)√21/(8*7) = 3(12-√21)/8.

Приложения:

Simba2017: блеск!
Похожие вопросы
Предмет: Русский язык, автор: potomuchtoyapudg
Задание 1 (50 баллов).

1. Прочитайте текст.

_______________

Наша сем..я (не)давно в..ехала в новую кв..ртиру в высотном доме. И оказалось, что в этой квартире ещё кто(то) живёт.

**В углу кухн.. этот кто(то) (не)видимый постоянно изд..вал (не)понятные звуки и иногда стучал. ** Кто бы мог это быть? Соседи тоже слышат и звуки, и стук. Но одна бабушка с первого этажа сказала: «Это д..мовёнок. (Не)бойтесь его». Она посоветовала ост..влять ему вечером молока и хлеба, которые должны были утром и(з,с)чезнуть. Но еда не исчезала.

Мама же хотела обратит..ся на програ(м,мм)у, где и(з,с)следуют паранормальные явления, но вскоре мы всё же узнали, кем был наш «домовёнок».

Оказалось, что звуки и стук издавал вор..нёнок, которого приютили наши соседи (с)верху.

(по Ю. Фишман)

2. Спишите текст, раскрывая скобки и вставляя пропущенные буквы.



Задание 2.

Выполните задания 1–6.

1. Определите стиль (художественный, публицистический, официально-деловой, научный или разговорный) (2 балла) и тип текста (рассуждение, повествование или описание) (2 балла).

2. Придумайте и запишите заголовок (6 баллов).

3. Заполните таблицу примерами. Выпишите из текста три слова каждой части речи (форму слова не изменяйте) (15 баллов).

Имя существительное

Имя прилагательное

Глагол

Местоимение

Наречие











4. Найдите в тексте нераспространённое предложение. Выпишите его (5 баллов).

5. Выпишите грамматическую основу выделенного в тексте предложения (5 баллов). Укажите, какой частью речи выражены главные члены предложения (5 баллов).

6. Выпишите из текста два слова, в которых количество букв на одну больше, чем количество звуков (10 баллов).