Question

Нужно решить. Решите, пожалуйста.

Answer 1

Задача. Найдите все целочисленные решения уравнения

(x^2 + y^2) (x + y - 3) = 2xy

Решение:

$\left(x^2+y^2\right)(x+y-3)=2xy\\ \left((x+y)^2-2xy\right)(x+y-3)=2xy$

Пусть $x+y=a$ и $2xy=b$, при этом b - четное, иначе х и у не будут целыми. Получим

$(a^2-b)(a-3)=b\\ a^2(a-3)-b(a-3)=b\\ a^2(a-3)=b(a-3+1)\\ b=\dfrac{a^2(a-3)}{a-2}=\dfrac{a^3-3a}{a-2}$

Выполнив деление многочленов столбиком, мы получим

$b=a^2-a-2-\dfrac{4}{a-2}$

И $b$ будет целым тогда, когда дробь $\dfrac{4}{a-2}$ также будет целым

$a=0;~~ b=-2+2=0\\ a=1;~~ b=1-1-2+4=2\\ a=3;~~b=9-3-2-4=0\\ a=4;~~b=16-4-2-2=8\\ a=6;~~ b=36-6-2-1=27\\ a=-2;~~ b=4+2-2+1=5$

Значения b = 27 и b = 5 - нечетные, отбрасываем их. Далее нужно решить следующие системы уравнений, выполняя обратную замену.

$\displaystyle \left \{ {{x+y=0} \atop {2xy=0}} \right.~~~\Rightarrow~~~ x=0,~y=0\\ \\ \\ \left \{ {{x+y=3} \atop {2xy=0}}\right.~~~\Rightarrow~~~ x=0,~y=3~~~~or~~~~ x=3,~ y=0$

$\displaystyle \left \{ {{x+y=4} \atop {2xy=8}}\right. ~~~~~\Rightarrow~~~~ x=y=2$

Ответ: (0;0), (0;3), (2;2), (3;0).