Question

Найти частное решение дифференциального уравнения:

$x^{2} \frac{dy}{dx}-2xy=3, y(1)=-1$

Answer 1

$x^2y'-2xy=3\\ \\ y'\cdot x^2-y\cdot (x^2)'=3~~~~\bigg|\cdot\dfrac{1}{x^4}\\ \\ \dfrac{y'x^2-y(x^2)'}{x^4}=\dfrac{3}{x^4}~~~~\Rightarrow~~~\left(\dfrac{y}{x^2}\right)'=\dfrac{3}{x^4}\\ \\ \\ \dfrac{y}{x^2}=\displaystyle \int\dfrac{3}{x^4}dx=-\dfrac{3}{x^3}+C\\ \\ \\ y=Cx^2-\dfrac{1}{x}$

Получили общее решение дифференциального уравнения. Найдем теперь частное решение, подставляя начальные условия

$-1=C\cdot 1^2-\dfrac{1}{1}~~~\Rightarrow~~~ C=0$

$\boxed{y=-\dfrac{1}{x}}$ - частное решение