Question

найдите какую нибудь пару натуральных чисел , которая является решением уравнения
$x ^{2} + y {}^{2} - (xy) {}^{2} = 1 \\ (x - y \sqrt{2} )(x + y \sqrt{2} ) = 1 \\ m {}^{n} = n ^{m}$
​

Answer 1

1) Примем x = y. Подходит пара x = 1; y = 1

2) Здесь раскроем скобки по формуле разности квадратов

$x^2-2y^2=1\\ \\ y^2=\dfrac{x^2-1}{2}\\ \\ y=\pm\sqrt{\dfrac{x^2-1}{2}}$

Берем только положительное y, т.е. $y=\sqrt{\dfrac{x^2-1}{2}}$, поскольку натуральное число не является отрицательным. Легко подобрать пару натуральных решений: (3;2)

x = 3; y = 2.

3) Приняв m = n, подходит m = n = 2