Question

Доказать выражение.

Answer 1

Рассмотрим предел

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{(1+x)^p-1}{x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{((1+x)^p-1)'}{(x)'}=\lim_{x \to 0}\dfrac{p(1+x)^{p-1}}{1}=p\\ \\ \\ \lim_{x \to 0}\dfrac{(1+x)^p-1}{x}=p~~~~\Rightarrow~~~ (1+x)^p-1~~\sim xp$

Второй способ доказательства (без Лопиталя)

$\displaystyle \lim_{x \to 0}\dfrac{(1+x)^p-1}{xp}=\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{p\ln(1+x)}-1}{xp}=\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{p\ln(1+x)-1}}{p\ln(1+x)}\cdot \\ \\ \cdot\dfrac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{p\ln(1+x)}-1}{p\ln(1+x)}\cdot 1=\left\{\begin{array}{ccc}p\ln(1+x)=t\\ \\ t\to 0\end{array}\right\}=\\ \\ \\ =\lim_{t \to 0}\dfrac{e^t-1}{t}=1$

Отсюда следует, что $(1+x)^p-1~\sim~ xp$ при $x\to 0$