Question

Докажите с помощью математической индукции, что 3^n+1 + 4^2n-1 делится на 13 для любого натурального n.

Answer 1

1) Базис индукции: $n=1$

$3^{1+1}+4^{2\cdot 1-1}=9+4=13~~\vdots ~~13$

2) Предположим что для $n=k$ выполняется кратность

$\left(3^{k+1}+4^{2k-1}\right)~\vdots~~13$

3) Индукционный переход: $n=k+1$

$3^{k+1+1}+4^{2(k+1)-1}=3\cdot 3^{k+1}+16\cdot 4^{2k-1}=3\left(3^{k+1}+4^{2k-1}\right)+13\cdot 4^{2k-1}$

Первое слагаемое делится на 13 по предположению (второй пункт), а второе слагаемое тоже делится на 13 (содержит сомножитель 13), следовательно, $\left(3^{n+1}+4^{2n-1}\right)~\vdots~~13$ для всех $n \in \mathbb{N}$.