Question

Cos2x+sin^4x=2cos^6x

Answer 1

Здесь будем применять формулу понижения степени

$\cos 2x+\sin^4x=2\cos ^6x\\ \\ \cos 2x+\sin^4x=2\cos^2x\cdot \cos^4x\\ \\ \cos2x+\sin^4x=2\cdot \dfrac{1+\cos 2x}{2}\cdot \cos^4x\\ \\ \cos 2x+\sin^4x=\cos^4x+\cos 2x\cos^4x\\ \\ \cos 2x-\cos2x\cos^4x+\sin^4x-\cos^4x=0\\ \\ \cos 2x(1-\cos^4x)+(\underbrace{\sin^2x+\cos^2x}_{=1})(\sin^2x-\cos^2x)=0\\ \\ \cos2x(1-\cos^4x)-\cos 2x=0\\ \\ \cos 2x(1-\cos^4x-1)=0\\\\ \cos 2x\cdot \cos^4x=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из множителей обращается к нулю

$\cos 2x=0~~~\Rightarrow~~~2x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}~~\Rightarrow~~ \boxed{x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2},n \in \mathbb{Z}}\\ \\ \cos^4x=0~~~\Rightarow~~~ \cos x=0~~~\Rightarrow~~~~\boxed{x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n,n \in \mathbb{Z}}$