Question

Помогите пожалуйста с уравнением !!! Уравнение на промежутке ( - Pi до 3pi/2)
Отдаю последнее что есть !!!!! $4-4(cos-sinx)-sin2x=0$

Answer 1

Пусть $\cos x-\sin x=t$, при этом $|t|\leq \sqrt{2}$, тогда возведя обе части равенства до квадрата, имеем $1-\sin2x=t^2$ откуда $\sin 2x=1-t^2$, мы получаем

$4-4t-(1-t^2)=0\\ 4-4t+t^2-1=0\\ (t-2)^2=1\\ |t-2|=1\\ \\\left[\begin{array}{ccc}t-2=1\\ \\ t-2=-1\end{array}\right~~~\Rightarrow~~~\left[\begin{array}{ccc}t_1=3\\ \\ t_2=1\end{array}\right$

Корень $t_1=3$ не удовлетворяет условию $|t|\leq\sqrt{2}$. Выполним обратную замену:

$\cos x-\sin x=1\\ \\ \sin x-\cos x=-1$

$\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \sin x\cos \frac{\pi}{4}-\cos x\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ \sin (x-\frac{\pi}{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \\ x-\frac{\pi}{4}=(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}\\ \\ \boxed{\boldsymbol{x=(-1)^{k+1}\cdot\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}+\pi k,k \in \mathbb{Z}}}$

Отбор корней на промежутке $(-\pi;\frac{3\pi}{2})$

$k=0;~ x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}=0\\ k=-1;~x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}-\pi=-\frac{\pi}{2}$