Question

Поясніть будь ласка покроково, бо не до кінця розумію що робити з множниками перед модулями

Answer 1

Объяснение:

$|x+1|-|x|+3\cdot |x-1|-2\cdot |x-2|=x+2\\\\x+1=0\; \; \to \; \; x_1=-1\\\\x_2=0\\\\x-1=0\; \; \to \; \; x_3=1\\\\x-2=0\; \; \to \; \; x_4=2\\\\---(-1)---(0)---(1)---(2)---$

Получили 5 интервалов. Теперь будем считать знаки каждого модуля на каждом интервале. Если выражение под знаком модуля отрицательно, то модуль раскрываем со знаком минус, если положительно, то со знаком плюс.

$a)\; \; x\in (-\infty ,-1 )\; :\; x+1<0\; \to \; |x+1|=-(x+1)=-x-1\; \; ;\\\\x<0\; \to |x|=-x\; ;\\\\x-1<0\; \to \; |x-1|=-(x-1)=-x+1\; ;\\\\x-2<0\; \to \; |x-2|=-(x-2)=-x+2\; ;\\\\|x+1|-|x|+3\cdot |x-1|-2\cdot |x-2|=\\\\=(-x-1)-(-x)+3(-x+1)-2(-x+2)=\\\\=-x-1+x-3x+3+2x-4=-x-2\; ;\\\\-x-2=x+2\; \; \to \; \; -2x=4\; ,\; \; \underline {x=-2\in (-\infty ,-1)}\\\\b)\; \; x\in [-1,0)\; :\; \; x+1>0\; \to \; |x+1|=x+1\; ;\\\\x<0\; \to \; |x|=-x\; ;\\\\x-1<0\; \to \; |x-1|=-(x-1)=-x+1\; ;\\\\x-1<0\; \to |x-1|=-(x-1)=-x+1$

$x-2<0\; \to \; |x-2|=-(x-2)=-x+2\; ;\\\\|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=\\\\=x+1-(-x)+3(-x+1)-2(-x+2)=\\\\=x+1+x-3x+3+2x-4=x\; ;\\\\x=x+2\; \; \to \; \; x-x=2\; \; ,\; \; 0=2\; \; \underline {neverno}\\\\c)\; \; x\in [\, 0,1)\; :\; \; x+1>0\; \; \to \; \; |x+1|=x+1\; ;\\\\|x|>0\; \; \to \; \; |x|=x\; ;\\\\x-1<0\; \; \to \; \; |x-1|=-x+1\; ;\\\\x-2<0\; \; \to \; \; |x-2|=-x+2\; ;\\\\|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=\\\\=x+1-x+3(-x+1)-2(-x+2)=\\\\=x+1-x-3x+3+2x-4=-x\; ;\\\\-x=x+2\; \; \to \; \; -2x=2\; ,\; \underline {x=-1\notin [\, 0,1)}$

$d)\; \; x\in [\, 1,2)\; :\; \; \; x+1>0\; \to |x+1|=x+1\; ;\\\\x>0\; \to \; |x|=x\\\\x-1>0\; \to \; |x-1|=x-1\; ;\\\\x-2<0\; \to \; |x-2|=-x+2\; ;\\\\|x+1|-|x|+3|x+1|-2|x-2|=\\\\=x+1-x+3(x+1)-2(-x+2)=\\\\=x+1-x+3x+3+2x-4=5x\; ;\\\\5x=x+2\; \; \to \; \; 4x=2\; ,\; \; \underline {x=\frac{1}{2}\notin [\, 1,2)}\\\\e)\; \; x\in [\, 2,+\infty )\; :\; \; x+1>0\; \to \; |x+1|=x+1\; ;\\\\x>0\; \to \; |x|=x\; ;\\\\x-1>0\; \to \; |x-1|=x-1\; ;\\\\x-2>0\; \to \; |x-2|=x-2\; ;\\\\|x+1|-|x|+3|x-1|-2|x-2|=\\\\=x+1-x+3x-3-2x+4=x+2\; ;\\\\x+2=x+2\; \; \underline {verno\; \; pri\; \; x\in [\, 2,+\infty )}$

$Otvet:\; \; x\in \{-2\}\cup [\, 2,+\infty )\; .$