Question

В прямоугольнике периметр равен 2p, а диагональ составляет со стороной угол х. Найдите площадь этого прямоугольника.

Answer 1

Пусть сторона CD = a, тогда ${\rm tg}\, x=\dfrac{CD}{AD}~~\Rightarrow~~ AD=a{\rm ctg}\, x$. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ACD

$AC^2=\sqrt{a^2+a^2{\rm ctg}^2\, x}=a\sqrt{1+{\rm ctg}^2\, x}=\dfrac{a}{\sin x}$

$P=2(AD+CD)=2\sqrt{(AD+CD)^2}=2\sqrt{AD^2+CD^2+2AD\cdot CD}=\\ \\ =2\sqrt{AC^2+2S}\\ \\ 2p=2\sqrt{AC^2+2S}\\\\ p=\sqrt{AC^2+2S}\\ \\ S=\dfrac{p^2-AC^2}{2}=\dfrac{p^2-\dfrac{a^2}{\sin^2x}}{2}=\dfrac{(p\sin x-a)(p\sin x+a)}{2\sin^2x}$