Помогите пожалуйста решить 2 и 3
Ответы
2) Упростим левую часть:
sin 4x/tg 2x = (2sin 2x*cos 2x)/(sin 2x/cos 2x) = 2cos²(2x).
В правой части числитель - разность квадратов:
(cos²x - sin²x)(cos²x + sin²x) = cos 2x *1.
Правая часть cos 2x/(sin 2x/cos 2x) = cos²(2x)/sin 2x.
Получаем 2cos²(2x) = cos²(2x)/sin 2x.
Если левую часть представить так: 2cos²(2x)/1, а в правой числитель и знаменатель умножить на 2, то получим равенство:
2cos²(2x)/1 = 2cos²(2x)/(2sin 2x).
В равных дробях при равных числителях равны и знаменатели:
2sin 2x = 1,
sin 2x = 1/2,
2х = (π/6) + 2πk, k ∈ Z,
2х = (5π/6) + 2πk, k ∈ Z.
Отсюда получаем 2 решения:
х = (π/12) + πk, k ∈ Z,
х = (5π/12) + πk, k ∈ Z.
Но есть ещё одно решение, связанное с тем, что в исходном равенстве тангенс двойного угла, стоящий в знаменателях, может быть равен 1 или -1.
Проверим: tg 2x = 1, 2x = (π/4) + πk, k ∈ Z.
х = (π/8) + πk/2, k ∈ Z.
Подставим х = (π/8) + πk/2 при к = 0 в исходное равенство.
Слева в числителе синус пи/2 = 1, а справа 0,7071. Не подходит.
Аналогично и при tg 2x =-1.