Question

Прошу вашей помощи, мои дорогие! Вычислить предел, используя правило Лопиталя

Answer 1

20)Для $x\neq 0$: $\cos x=\frac{\sin x}{\tan x}$. Подставим в предел: $L=\lim\limits_{x\to 0}(\frac{\sin x}{\cos x})^\frac{1}{\sin x}=(\lim\limits_{x\to 0}(\frac{\sin x}{\tan x}))^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\sin x}$. Применим правило Лопиталя для дроби, получим: $L=(\lim\limits_{x\to 0}(\frac{\sin x}{\tan x}))^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\sin x}}=\lim\limits_{x\to 0}((\cos x)^{\frac{3}{\sin x}})=L^{3} \Leftrightarrow L=0\;\textbf{or}\; L=\pm1$. Значит, если предел существует, то это одно из этих чисел. Поскольку функция под знаком предела всегда неотрицательна, то -1 исключаем. Более того, на отрезке $[\pi/2,\; -3\pi/2]$ функция убывает, и, например, в точке $\pi/2$ функция принимает значение 0. Значит, искомый предел равен 1.

21) Используем тот же трюк с косинусом. Получаем L=1