Question

Пусть f это функция, где f(0) = 11, f(2) = 9 и f '(2) = 2
Вычислите интеграл
$\int\limits^2_0 {xf''(x)} \, dx$

Answer 1

Имеем три начальных условия, значит функция имеет не более второй степени полином, т.е. $f(x)=ax^2+bx+c$

$f'(x)=2ax+b\\ f''(x)=2a$

Подставим координаты начальных условий, мы составим систему

$\begin{cases}&\text{}4a+b=2\\&\text{}4a+2b+c=9\\&\text{}c=11\end{cases}~~~\Longrightarrow~~~\begin{cases}&\text{}a=1.5\\&\text{}b=-4\\&\text{}c=11\end{cases}$

Значит функция f представляет собой вид $1.5x^2-4x+11$

$f''(x)=3$

Подсчитаем теперь интеграл.

$\displaystyle \int\limits^2_0 xf''(x)dx=\int\limits^2_03xdx=\dfrac{3x^2}{2}\bigg|^2_0=\dfrac{3\cdot 2^2}{2}-\dfrac{3\cdot 0^2}{2}=6$

Ответ: 6