Question

Очень срочно нужна помощь с задачей по физике!!!! Какой радиус r должен иметь алюминиевый шарик,натертый парафином, чтобы он "плавал" в воде, погрузившись ровно наполовину?

Answer 1

Дано:

$rho_{1} = 2700$ кг/м³ — плотность алюминия

$rho_{2} = 1000$ кг/м³ — плотность воды

$sigma = 73 cdotp 10^{-3}$ Н/м — поверхностное натяжение воды

$g = 10$ м/с² — ускорение свободного падения

============================

Найти: $R - ?$ — радиус шара

============================

Решение. Парафин не смачивается водой. На шар действуют три силы: $vec{F}_{A}$ — сила Архимеда; $vec{F}_{_{T}}$ — сила тяжести; $vec{F}_{_{varPi}}$ — сила поверхностного натяжения воды.

Условие равновесия:

$vec{F}_{A} + vec{F}_{_{varPi}} = vec{F}_{_{T}}$

Распишем силы до тех величин, которые известны и надо найти:

$1) F_{_{varPi}} = sigma l = 2pi R sigma$

$2) F_{A} = rho_{2} g V = dfrac{2}{3} rho_{2} g pi R^{3}$ (тут $V = dfrac{2}{3}pi R^{3}$ так как в жидкости находится только половина шара)

$3) F_{_{T}} = mg = rho_{1}gV = dfrac{4}{3}rho_{1}gpi R^{3}$

$dfrac{2}{3} rho_{2} g pi R^{3} + 2pi R sigma = dfrac{4}{3}rho_{1}gpi R^{3}$

$dfrac{4}{3}rho_{1}gR^{2} - dfrac{2}{3} rho_{2} g R^{2} = 2sigma$

$R = sqrt{dfrac{2sigma}{gbigg(dfrac{4}{3}rho_{1} - dfrac{2}{3} rho_{2} bigg)}} approx 0,00223 _{text{M}} = 2,23 _{text{MM}}$

============================

Ответ: 2,23 мм.

Answer 2

Сила поверхностного натяжения направлена перпендикулярно поверхности воды - для нашего случая к центру шарика.

Лаплассово давление P=2σ/r , где σ= 73 * 10^-3 Н/м - коэффициент поверхностного натяжения.

Для слоя воды расположенного под углом α к вертикали -

Площадь слоя

dS = 2*π*r*r*sin (α)*dα

Сила

dF = P dS = 2σ/r * 2*π*r*r*sin (α)*dα = 4* π* σ* r* sin (α)*dα

Нас интересует проекция этой силы на вертикальную ось

dFy= dF*cos(α) = 4* π* σ* r* sin (α)* cos(α) *dα = 2*π* σ* r* sin(2α) *dα

Интегрируем эти слои от 0 до π/2

F = ∫ dFy = ∫ π* σ* r* sin(2α) *d(2α) =  2*π*r*σ  - это сила поверхностного натяжения для шарика наполовину в воде.

Объем шарика

V = 4/3 π*r^3

Масса

m = 4/3 π*r^3 ρ(ал)

Сила Тяжести

Fт = mg = 4/3 π*r^3 ρ(ал) * g

Архимедова сила

F а = 2/3 π*r^3 ρ(в) * g  - шар наполовину в воде

Fa + F = Fт

Откуда

2/3 π*r^3 ρ(в) * g  + 2*π*r*σ   = 4/3 π*r^3 ρ(ал) * g

( 2ρ(ал)-ρ(в) ) r^2 * g = 3σ

r = √ (3σ/(g*(2ρ(aл) - ρ(в))))

Подставляя значения ρ(aл) = 2700 кг/м^3  ρ(в)= 1000 кг/ м^3

Получаем

r ~= 0.0023 м = 2.3 мм