Question

Помогите с логарифмами !

Answer 1

ОДЗ:

1) x + 3 > 0   ⇒ x > -3

2) x + 5 ≠ 0  ⇒ x ≠ - 5

3) x² + 8x + 7 > 0

(x + 7)(x + 1) > 0

x ∈ (- ∞ ; - 7) ∪ ( - 1 ; + ∞)

Окончательно : x ∈ (- 1 , + ∞)

$2lg(x+3)+lg(x+5)^{2}-lg(x^{2}+8x+7)=5lg2\\\\lg[(x+3)^{2}*(x+5)^{2}]=lg[32*(x^{2}+8x+7)]\\\\(x^{2}+8x+15)^{2} =32(x^{2}+8x+7)$

Замена : x² + 8x + 7 = m

(m + 8)² = 32m

m² + 16m + 64 - 32m = 0

m² - 16m + 64 = 0

(m - 8)² = 0

m = 8

x² + 8x + 7 = 8

x² + 8x - 1= 0

D = 8² - 4 * (- 1) = 64 + 4 = 68 = (2√17)²

$x_{1} =\frac{-8+2\sqrt{17} }{2}=\sqrt{17}-4\\\\x_{2}=\frac{-8-2\sqrt{17} }{2}=-(\sqrt{17}+4)$

$Otvet:\boxed{\sqrt{17}-4}$