Question

ПОМОГИТЕ sos SOS SOS sos ​

Answer 1

Ответ:

144

Пошаговое объяснение:

Пусть разложение искомого числа $n$ на простые множители имеет вид: $n=p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$

Каждый делитель $d$ этого числа, очевидно, должен содержать только те же простые множители, что и в исходном числе: $d=p_1^{\beta_1} p_2^{\beta_2}\cdots p_k^{\beta_k}$, причем все коэффициенты $\beta_i$ можно выбирать независимо из множества $\{0,1,\dots,\alpha_i\}$: всего $\alpha_i+1$ вариантов для $i$-го коэффициента. По правилу произведения общее количество делителей должно быть равно произведению $(\alpha_1+1)\cdots(\alpha_k+1)$.

15 можно разложить на множители только одним способом (без учета порядка): $15=5\cdot3$. Это дает общий вид для чисел, которые имеют в точности 15 делителей: $p_1^{14}$ или $p_1^4p_2^2$.

Понятно, что чтобы получить как можно меньшее число, простое число к большему показателю степени нужно выбирать наименьшим возможным. Таким образом, для первого варианта наименьшее число равно $2^{14}=16384$, для второго $2^4\cdot3^2=144$

Вот, к слову, все 15 делителей числа 144: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72 и само 144.