Question

Дві медіани трикутника взаємно перпендикулярні та дорівнюють 9 см і 12 см. Знайдіть сторони трикутника.

Answer 1

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Пусть $BO=2x$ см и $OE=x$ см, тогда $BE=2x+x=3x$, что по условию он равен 9 см.

$9=3x\\ x=3$

Следовательно, $BO=2\cdot 3=6$ см и $OE=3$ см

Аналогично, пусть теперь $AO=2y$ см и $OD=y$, тогда $AD=3y$ и по условию равен 12 см

$3y=12\\ y=4$

Таким образом, $AO=2\cdot 4=8$ см и $OD=4$ см.

По условию медианы треугольника AD и BE взаимно перпендикулярны, следовательно

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $AOB$

$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$ см

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $BOD$

$BD=\sqrt{BO^2+OD^2}=\sqrt{6^2+4^2}=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}$ см

Тогда $BC=2BD=4\sqrt{13}$ см

Из прямоугольного треугольника $AOE$ по теореме Пифагора

$AE=\sqrt{AO^2+OE^2}=\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}$ см

Тогда $AC=2AE=2\sqrt{73}$ см

Ответ: $10$ см; $4\sqrt{13}$ см; $2\sqrt{73}$ см.