Question

Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 24, тангенс угла BAC равен Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Answer 1

В треугольнике BCP ∠BCP=90°-∠PBC=90°-(90°-BAC)=∠BAC

$tg\alpha =\frac{PB}{CP} =\frac{12}{5}; PB=12x; CP=5x;$

по теореме Пифагора в BCP

$BC^2=CP^2+PB^2=(5x)^2+(12x)^2=(13x)^2 \Rightarrow BC=13x;$

$S=pr$, p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности в любом треугольнике

Для BCP:

$\frac{1}{2} PC\cdot PB=pr; \frac{1}{2}\cdot 5x\cdot 12x=15x\cdot r; \frac{1}{2}x^2=6x; x=12$ (x=0 я сразу исключил, такого не может быть)

$BC=13\cdot 12; tg\alpha =\frac{BC}{AC} ; AC=\frac{BC}{tg\alpha } =\frac{5}{12}\cdot 13 \cdot 12=13\cdot 5 =65;$

$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(13\cdot 12)^2+(13 \cdot 5)^2}=13\sqrt{12^2+5^2}=13\cdot 13$

$\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC = pr; \frac{1}{2}\cdot 13\cdot 5 \cdot 13 \cdot 12 = \frac{(13\cdot 12 + 13\cdot 5 + 13\cdot 13)}{2} \cdot r;$

$5\cdot 13\cdot 6= \frac{12+5+13}{2}\cdot r; r=26$

Ответ: $\boxed{r=26}$