Question

Доказать что число 333^777 + 777^333 делится на 37. Подробно.

Answer 1

$333^{777}=(3\cdot 111)^{777}=3^{777}\cdot 111^{777}\\ \\ 777^{333}=(7\cdot 111)^{333}=7^{333}\cdot 111^{333}$

Значит $333^{777}+777^{333}=3^{777}\cdot 111^{777}+7^{333}\cdot 111^{333}=111^{333}\cdot\left(3^{777}\cdot111^{444}+7^{333}\right)$

Разложим число 111 на простые множители

111 = 3 * 37

$111^{333}\cdot\left(3^{777}\cdot111^{444}+7^{333}\right)=3^{333}\cdot 37^{333}\cdot\left(3^{777}\cdot111^{444}+7^{333}\right)$

Множитель $37^{333}$ делится на 37, следовательно, сумма чисел $\left(333^{777}+777^{333}\right)$ делится на 37