Question

1. Вычислить значение производной функции заданной неявно
$3x-2y+z=xz+5$ в точке $M_{0} (0,1,-1)$
2. Исследовать функцию $z= 2xy-3x^2-2y^2+10$ на
экстремумы

Answer 1

1.$3x-2y+z-xz-5=0;$

$F(x,y,z)=3x-2y+z-xz-5;$

$\frac{\partial F}{\partial x}=3-z; \frac{\partial F}{\partial y}=-2; \frac{\partial F}{\partial z}=1-x$

$z'_x=\frac{F'_x}{F'_z}=\frac{3-z}{1-x}; z'_y=\frac{F'_y}{F'_z}=\frac{-2}{1-x}; z'_x=\frac{3+1}{1}=3; z'_y=\frac{-2}{1}=-2$

2. $z=2xy-3x^2-2y^2+10;$

$z'_x=2y-6x; z'_y=2x-4y$

$\left \{ {{z'_x=0} \atop {z'_y=0}} \right. \Rightarrow \left \{ {{2y-6x=0} \atop {2x-4y=0}} \right.; \left \{ {{2y=6x} \atop {2x-12x=0}} \right.; \left \{ {{x=0} \atop {y=0}} \right.$

Чтобы определить, является ли точка (0;0) экстремумом , считаем вторые производные

$z'_{xx}=-6; z'_{xy}=2; z'_{yy}=-4;$

И смотрим выполнение достаточного условия экстремума

$\begin{vmatrix}z'_{xx} & z'_{xy}\\ z'_{xy} & z'_{yy}\end{vmatrix}$

Считаем это:

$z'_{xx}z'_{yy}-2z'_{xy}=(-6)\cdot (-4) - 2\cdot2=24-4=20>0$

Значит, точка (0;0) является экстремумом.

Так как $z'_{xx}<0$, то точка (0;0) - максимум.