Question

Решите первое, ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

b₁=9/32

b₂=b₁q

...

b₂₀=b₁q¹⁹

$\frac{1}{b_{1}}+\frac{1}{b_{2}}+...+\frac{1}{b_{20}}=\frac{1}{b_{1}}+\frac{1}{b_{1}q}+...+\frac{1}{b_{1}q^{19}}=\frac{1}{b_{1}}\cdot(1+\frac{1}{q}+...+(\frac{1}{q})^{19})=\\  \\ =\frac{32}{9}(1+\frac{1}{2}+...+(\frac{1}{2})^{19})=$

находим сумму 20 членов геометрической прогрессии с первым членом 1 и знаменателем (1/2)

$= \frac{32}{9}\cdot\frac{1\cdot(1-(\frac{1}{2})^{19}) }{1-\frac{1}{2} }  =\frac{2^{19}-1}{9\cdot2^{13}}$

Считать не буду до окончательного ответа, кому нравится возводите 2 в 19-ую степень....

Answer 2

По условию имеем геометрическую прогрессию с

$b_1=\frac{9}{32} ; q=2$

Величина, обратная члену прогрессии - $\frac{1}{b_i}$, а нам нужно найти сумму, в которой будут участвовать первые 20 членов прогрессии. То есть, ищем такое:

$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_2}+...+\frac{1}{b_{20}};$

Помним, что n-ый член геометрической прогрессии можно представить как $b_n=b_1\cdot q^{n-1}$. Применим это:

$\frac{1}{b_1}+\frac{1}{b_1\cdot q}+...+\frac{1}{b_1 \cdot q^{19}}=\frac{1}{b_1}(1+\frac{1}{q} +...+\frac{1}{q^{19}})$

В скобках имеем геометрическую прогрессию с $b'_1=1; q'=\frac{1}{q}=\frac{1}{2} ; n'=20$

Формула суммы геометрической прогрессии:

$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

Подставляем туда наши значения:

$S_n=\frac{1(1-(\frac{1}{2} )^{20})}{1-\frac{1}{2} }=2(1-\frac{1}{2^{20}} )$

Вспоминаем, что это мы нашли сумму правой скобки, все это надо еще умножить на $\frac{1}{b_1}$

$\frac{32}{9}\cdot2 \cdot (1-\frac{1}{2^{20}})=\boxed{\frac{64}{9}(1-\frac{1}{2^{20}})\simeq 7,11 }$