Question

Помогите решить пожалуйста: Напишите уравнение параболы, проходящей через три точки (x,y):
(1,2), (3,10), (5,1)

Answer 1

Ответ:

$y = -\dfrac{17}{8}x^2 + \dfrac{25}{2}x - \dfrac{67}{8}$

Пошаговое объяснение:

Уравнение параболы в общем виде записывается следующим образом:

$y = ax^2+bx+c$

где $a$, $b$ и $c$ -- коэффициенты, которые нам необходимо найти.

Подставим известные нам точки в уравнение параболы и составим систему из трёх уравнений:

$\left \{\begin{aligned}                2 &= a + b + c, \\                10 &= 9a + 3b + c, \\                1 &= 25a + 5b + c.            \end{aligned} \right.$

Эту систему можно решать по-разному, дело вкуса. Даю простейшее решение с выражением каждого неизвестного по-очереди.

$\left \{\begin{aligned}                c &= 2 - a - b, \\                10 &= 9a + 3b + 2 - a - b, \\                1 &= 25a + 5b + 2 - a - b.            \end{aligned} \right. \qquad \Longrightarrow \qquad \left \{\begin{aligned}                c &= 2 - a - b, \\                8 &= 8a + 2b, \\                -1 &= 24a + 4b.            \end{aligned} \right.$

Умножим второе уравнение на 2 и вычтем из третьего второе, чтобы избавиться от $b$:

$\left \{\begin{aligned}                c &= 2 - a - b, \\                16 &= 16a +4b, \\                -1 &= 24a + 4b.            \end{aligned} \right. \qquad \Longrightarrow \qquad \left \{\begin{aligned}                c &= 2 - a - b, \\                b &= 4 - 4a, \\                8a &= -17.            \end{aligned} \right.$

Отсюда видно, что $a = -\dfrac{17}{8}$, $b$ получаем из второго уравнения, а $c$ из первого:

$\left\{\begin{aligned}                a &= -\dfrac{17}{8}, \\                b &= \dfrac{25}{2}, \\                c &= -\dfrac{67}{8}.            \end{aligned} \right.$

Таким образом, $y = -\dfrac{17}{8}x^2 + \dfrac{25}{2}x - \dfrac{67}{8}$ - уравнение нашей параболы.