Question

Клієнт поклав у банк вклад у декілька 100 гривневих купюр. Через рік банк нарахував йому 100грн відсоткових грошей .Додавши 400грн до загальної суми клієнт залишив ще на 1 рік свої збереження в банку .В кінці року знову були нараховані відсотки. І тепер вклад разом з відсотками складав 1650грн .Яка сума була покладено в банк спочатку?

Answer 1

Формула сложной процентной ставки: $S=P(1+i)^n$, где S - наращенная сумма, P - первоначальная сумма вклада, i - процентная ставка, n - срок ссуды;

Само решение:

Пусть клиент сначала положил x грн в банк, тогда через год он получит $x(1+i)$ грн и получил он прибыль 100 грн, т.е. $x(1+i)-x=100$ откуда $xi=100$

К общей сумме он добавил 400 грн на год свои сбережения в банке, то на следующий год он получит $\left(x(1+i)+400\right)(1+i)$ грн, что по условию вклад вместе с процентами составил 1650 грн.

$\left(x(1+i)+400\right)(1+i)=1650\\ x(1+i)^2+400(1+i)=1650\\ x(1+i)^2+400+400i=1650\\ x(1+i)^2+400i-1250=0\\ \dfrac{100}{i}(1+2i+i^2)+400i-1250=0~~~\bigg|\cdot \dfrac{i}{10}\ne0\\ \\ 10+20i+10i^2+40i^2-125i=0\\ 50i^2-105i+10=0~~|:5\\ 10i^2-21i+2=0$

Решаем как квадратное уравнение через дискриминант

$D=(-21)^2-4\cdot 10\cdot 2=441-80=361\\ \sqrt{D}=19$

$i_1=\dfrac{21-19}{2\cdot10}=\dfrac{1}{10}=0.1\\ \\ i_2=\dfrac{21+19}{2\cdot10}=2$

$x_1=\dfrac{100}{i_1}=\dfrac{100}{0.1}=1000$ грн - начальная сумма вклада

$x_2=\dfrac{100}{i_2}=\dfrac{100}{2}=50$ грн - не подходит условию, так как клиент положил несколько 100 гривневых купюр

Ответ: начальная сумма вклада 1000 грн с 10% годовыми.