Question

Помогите с решением 26-ой задачи, пожалуйста

Answer 1

Графиком функции y=x²+(2a+6)x+4a+12 является парабола, ветви которой направлены вверх.

D=(2a+6)^2-4(4a+12)=(2(a+3))^2-4*4(a+3)=4(a+3)(a+3-4)=4(a+3)(a-1)

Если D < 0 уравнение не имеет корней, т.е при -3 < a < 1

Если D=0, т.е при a =-3; a=1  уравнение имеет один корень

При a=-3  уравнение принимает вид: х²=0 ;

и корень х=0 больше (-1)

При a=1   уравнение

x²+8x+16=0

(x+4)²=0

х=-4  корень не удовлетворяет требованию задачи.

Если D>0, т.е.  при   a < -3   или    a>1  уравнение имеет два корня и  потому возможны три случая расположения параболы в системе координат ( см. рис.) по отношению к (-1)

В первом случае оба корня левее (-1), т. е оба корня меньше -1

{D>0 ⇒a < -3 или  a > 1

{f(-1)>0⇒  (-1)²+(2a+6)(-1)+4a+12 >0 ⇒2a+7>0  ⇒a > -7/2

{x(вершины) < -  1  ⇒  - a - 3 < -1⇒  a > -2

a ∈ (1;+∞)

Во втором случае (-1) расположена между корнями, т. е один корень меньше (-1), второй больше (-1)

Это соответствует условию:

{f(-1) < 0⇒  2a+7 < 0  ⇒a < -3,5

В третьем случае оба корня больше (-1), что соответствует условиям

{D>0 ⇒  a < -3  или  а > 1

{f(-1)>0 ⇒2a+7 >0 ⇒a>-3,5

{x(вершины) > -1 ⇒  a  < -2

a∈(-7/2;-3)

О т в е т.

при a∈(-∞;-3,5)U{-3} -  один корень

при а∈(-3,5;-3)- два корня

при а∈(-3;1)U{1}U(1;+∞)=(-3;+∞)  нет корней