Question

Доведіть нерівність: (а+4)(b+9)(c+16)≥192√(abc); a≥0; b≥0; c≥0

Answer 1

Для неотрицательных a,b,c применим неравенство Коши:

$a+4\geq 2\sqrt{4a}=4\sqrt{a}\\ b+9\geq 2\sqrt{9b}=6\sqrt{b}\\ c+16\geq 2\sqrt{16c}=8\sqrt{c}$

Перемножив эти неравенства, мы получим

$(a+4)(b+9)(c+16)\geq 4\sqrt{a}\cdot 6\sqrt{b}\cdot 8\sqrt{c}=192\sqrt{abc}$

Доказано.