Question

Пожалуйста помогите. Решите в натуральных числах уравнение НОД(a, b) + НОК(a, b)= a+b+2. (НОД — это наибольший общий делитель. НОК — это наименьшее общее кратное.)

Answer 1

Ответ:

Объяснение: в приложении

Answer 2

Ответ: (2;3) ,( 3;2)

Объяснение:

Для  удобства пусть:

НОД (a,b)= t

a=n*t

b=m*t

m,n -взаимнопростые натуральные числа.

Тогда из  взаимной простоты  m и  n следует что :

НОК (a,b) =n*m*t

t+n*m*t= m*t +n*t +2

t*( 1+n*m -m-n)=2

t*(m-1)*(n-1)=2

Для  t возможно  два варианта :  t=1 ;  t=2

1)  t=2

(m-1)*(n-1)=1

Поскольку :  m-1>=0  и  n-1>=0 , то

n-1 =m-1=1

n=m=2 , но  n и m  взаимнопростые , поэтому данный случай нам не  подходит.

2)  t=1

(m-1)*(n-1)=2

m-1=2 → m=b=3

n-1=1 → n=b=2

Аналогично  при  симметричной ситуации:

b=2

a=3

P.S   подробнее  поясню  почему n=m=t=2  не подходит.

В  этом случае :  a=b=4

НОК (4 ;4)= НОД (4;4)=4  

4 +4 = 4+4+2 (неверно)