Question

В треугольнике АВС (АВ = ВС) проведены высоты BN и АМ, причем BN пересекает АМ в точке К.
а) Докажите, что треугольники АМС и BNC подобны.
б) Найдите коэффициент подобия указанных треугольников, если <ABC=120°.​

Answer 1

1) У треугольников AMC и BNC $\angle C$ — общий и ∠BNC = ∠AMC, следовательно, ΔAMC ~ ΔBNC по двум углам.

2) Поскольку BN - высота, медиана и биссектриса, то $\angle ABN=\angle NBC=\dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{120^\circ}{2}=60^\circ$

Коэффициент подобия: $k=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{2CN}{BC}=\dfrac{2\cdot BC\sin60^\circ}{BC}=2\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$